Tipos de coordenadas

Clase.

Coordenadas cilíndricas
Las coordenadas polares en el plano pueden servir, para simplificar ciertas ecuaciones, por ejemplo: para trazar la gráfica en dos dimensiones.
El sistema de coordenadas polares se puede generalizar a tres dimensiones, con coordenadas (r,, z) de un punto P.
r=radio
= ángulo de r con respecto a x
z= elevación de r,


-Relación de coordenadas cilíndricas y cartesianas
Cilíndricas a cartesianas:
x= r cos
y= r sen
z=z

Cartesianas a cilíndricas:


z=z


Coordenadas esféricas
Al igual que las coordenadas polares pueden servir para simplificar ciertas ecuaciones y trazar una gráfica de dos dimensiones el sistema de coordenadas esférica se puede definir en tres dimensiones con coordenadas de un punto P.
= ||OP||
= ángulo entre la parte positiva del eje z y OP
=ángulo polar a la proyección P' de P sobre el plano x, y

Relación de coordenadas esféricas a cartesianas y viceverza
-Esféricas a cartesianas
x=
y=
z=

-Cartesianas a esféricas

Derivada direccional (gradiente)

Para indicar una dirección se utiliza el concepto de vector unitario que forma un ángulo de medida o radianes con la parte positiva del eje x


La derivada direccional puede expresarse con el producto punto de dos vectores fx(x,y)[f(x) (x,y)i + f(y) (x,y)j]
en donde el término derecho se denomina gradiente de la función f el símbolo para su representación es: f o grad. f

Definición:
Si f es una función de dos variables x,y y fx, fy existen, entonces el gradiente f, está dado por:
f(x,y)= fx(x,y)i + fy(x,y)j
D f(x,y) = f(x,y)
= vector unitario
f(x,y)= gradiente

Producto escalar (punto)

Si y son vectores en el espacio en donde coinciden sus puntos iniciales y su ángulo entre ellas es entonces:

{|||| || || cos ; si , y 0 si ,

Ejemplo: Hallar y entre
(-3, 1, 2)
y son vectores en el espacio en donde coinciden sus puntos iniciales y su ángulo entre ellas es entonces:

{|||| || || cos ; si , y 0 si ,

Ejemplo: Hallar y entre
(-3, 1, 2)
= (4, 2, -5)

Producto escalar: (-3, 1, 2) (4, 2, -5)
= (-3)(4)+ (1)(2) + (2)(-5)
= -12 +2 -10
=-20 = -20
||||= = =
||||= = =

||c||= C=

=-0.8
=143°